Question

已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)G滿(mǎn)足|GF1|+|GF2|=2

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)F₂且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交（Ⅰ）中的軌跡Ω于P、Q兩點(diǎn)．在線(xiàn)段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件，根據(jù)橢圓的定義，可求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，可得(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，則有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=2

2

，且|F1F2|＜2

2

知，動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0， b＞0)，c=

a2-b2

，
由題知c=1，a=

2

，
則b²=a²-c²=2-1=1，
故動(dòng)點(diǎn)G的軌跡Ω的方程是

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）假設(shè)在線(xiàn)段OF₂上存在M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．
直線(xiàn)l與x軸不垂直，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．（6分）

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，其中x₂-x₁≠0．
由于MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，
∴(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，則有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，（8分）
從而（x₂+x₁-2m，y₂+y₁）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₂+x₁-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
又y=k（x-1），
則y₂-y₁=k（x₂-x₁），y₂+y₁=k（x₂+x₁-2），
故上式變形為(x2+x1-2m)+k2(x2+x1-2)=0，（10分）
將x1+x2=

4k2

1+2k2

代入上式，得(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0，
即2k²-（2+4k²）m=0，
∴m=

k2

1+2k2

（k≠0），可知0＜m＜

1

2

．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0， 

1

2

)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．