【題目】在直線l:3x-y-1=0上求點(diǎn)P和Q,使得
(1)點(diǎn)P到點(diǎn)A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大;
(2)點(diǎn)Q到點(diǎn)A(4,1)和C(3,4)的距離之和最。
【答案】(1)P(2,5); (2)Q.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a,b),求得B′的坐標(biāo),進(jìn)一步可得直線AB′的方程,聯(lián)立直線方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′,求得C′的坐標(biāo),進(jìn)一步可得直線AC′的方程,聯(lián)立直線方程即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(1)如圖所示,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a,b),
則kBB′·k1=-1,
即3× ,
∴a+3b-12=0.①
線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且中點(diǎn)在直線l上,
∴3×-1=0,即3a-b-6=0.②
解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3).
于是直線AB′的方程為,即2x+y-9=0.
解得 即l與直線AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5),且此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離之差最大.
(2)如圖所示,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′,
求出C′的坐標(biāo)為 .
∴AC′所在直線的方程為19x+17y-93=0,
解得直線AC′和l交點(diǎn)坐標(biāo)為,
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為,且此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A,C的距離之和最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線 所圍成封閉圖形面積為,曲線是以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓, 離心率為. 平面上的動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)
引橢圓的兩條切線互相垂直.
(1)求曲線的方程;
(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為, 分別是橢圓的上、下頂點(diǎn), .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于相異兩點(diǎn),且滿足直線的斜率之積為,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并采定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在路邊安裝路燈,路寬為,燈柱長(zhǎng)為米,燈桿長(zhǎng)為1米,且燈桿與燈柱成角,路燈采用圓錐形燈罩,其軸截面的頂角為,燈罩軸線與燈桿垂直.
⑴設(shè)燈罩軸線與路面的交點(diǎn)為,若米,求燈柱長(zhǎng);
⑵設(shè)米,若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn),另一條與地面的交點(diǎn)為(如圖2)
(圖1) (圖2)
(。┣的值;(ⅱ)求該路燈照在路面上的寬度的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且被兩條平行直線l1:3x+y-6=0和l2:3x+y+3=0所截得的線段長(zhǎng)為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約,甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定:兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是 ,且面試是否合格互不影響.求:
(1)至少有1人面試合格的概率;
(2)簽約人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足a1=a,b1=1,c1=3,對(duì)于任意n∈N* , 有bn+1= ,cn+1= .
(1)求數(shù)列{cn﹣bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}和{bn+cn}都是常數(shù)項(xiàng),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若數(shù)列{an}是公比為a的等比數(shù)列,記數(shù)列{bn}和{cn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn , 記Mn=2Sn+1﹣Tn , 求Mn< 對(duì)任意n∈N*恒成立的a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義max{a,b}表示實(shí)數(shù)a,b中的較大的數(shù).已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a>0),a2=1,an+2= (n∈N),若a2015=4a,記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 則S2015的值為 .
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