【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,與都是等邊三角形.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取的中點為,連接,根據(jù)與都是等邊三角形且有公共邊,又,得到,再由,得到,利用線面垂直的判定定理得到平面,再利用面面垂直的判定定理證明.
(2)由(1)知,兩兩垂直,以為原點,取分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面和平面一個法向量,由二面角的向量公式求解.
(1)如圖所示:
設(shè)的中點為,連接,
因為與都是等邊三角形且有公共邊,又,
所以,所以.
在等腰直角三角形中,易知,
又,所以,
所以,所以.
又,平面,
所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)由(1)知,兩兩垂直,以為原點,取分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,.
設(shè)平面一個法向量為,
又,,
所以,取,得.
設(shè)平面的一個法向量為,
又,,
所以,取,得.
所以.
設(shè)二面角的大小為,
所以.
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【題目】如圖.正四面體ABCD的頂點A,B,C分別在兩兩垂直的三條射線OX,OY,OZ上,則在下列命題中,錯誤的為( 。
A.O﹣ABC是正三棱錐B.二面角D﹣OB﹣A的平面角為
C.直線AD與直線OB所成角為D.直線OD⊥平面ABC
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【題目】已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為,一條斜率為的直線分別交軸于點,交橢圓于點,且點三等分.
(1)求該橢圓的方程;
(2)若是第一象限內(nèi)橢圓上的點,其橫坐標(biāo)為2,過點的兩條不同的直線分別交橢圓于點,且直線的斜率之積,求證:直線恒過定點,并求出定點的坐標(biāo).
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【題目】已知數(shù)列的前項和滿足(,為常數(shù),,且),,,若存在正整數(shù),使得成立;數(shù)列是首項為2,公差為的等差數(shù)列,為其前項和,則以下結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖所示,橢圓的離心率為,過點作直線交橢圓于不同兩點,.
(1)求橢園的方程;
(2)①設(shè)直線的斜率為,求出與直線平行且與橢圓相切的直線方程(用表示);
②若,為橢圓上的動點,求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求;
(3)設(shè),問:是否存在非零整數(shù),使數(shù)列為遞增數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】回文數(shù)指從左向右讀與從右向左讀都一樣的正整數(shù),如22,343,1221,94249等.顯然兩位回文數(shù)有9個,即11,22,33,99;三位回文數(shù)有90個,即101,121,131,…,191,202,…,999.則四位回文數(shù)有______個,位回文數(shù)有______個.
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【題目】已知過點的曲線的方程為.
(Ⅰ)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(Ⅱ)已知點,為直線上任意一點,過作的垂線交曲線于點,.
(。┳C明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點);
(ⅱ)求最大值.
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