精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1.P,Q分別是棱DD1,CD的中點(diǎn).
(1)證明:AC1⊥平面A1BD;PQ∥平面A1BD;
(2)探究:在棱B1C1上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-BD-A1的大小為45°?若存在,則求出B1M的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)證明:連接AC,根據(jù)三垂線定理可得:AC1⊥BD并且AC1⊥A1B,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直.
由P,Q分別是棱DD1,CD的中點(diǎn),可得PQ∥A1B,再根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩個(gè)平面的法向量,再利用向量的有關(guān)運(yùn)算得到兩個(gè)平面的二面角,進(jìn)而得到一個(gè)等式,即可求出答案.
解答:解:(1)證明:連接AC,所以AC是AC1在底面內(nèi)的射影,
因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,所以AC⊥BD,
所以根據(jù)三垂線定理可得:AC1⊥BD,同理可得:AC1⊥A1B,
因?yàn)锽D∩A1B=B,
所以AC1⊥平面A1BD.
因?yàn)镻,Q分別是棱DD1,CD的中點(diǎn),
所以PQ∥CD1,
所以PQ∥A1B,
又因?yàn)锳1B?平面A1BD,
所以PQ∥平面A1BD.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),設(shè)M(1,y,1),
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所以
A1B
=(1,0,-1)
,
BD
=(-1,1,0)
,
BM
=(0,y,1)

設(shè)平面A1BD與平面BDM的法向量分別為:
n
=(x1,y1,z1)
m
=(x2,y2z2)
,
所以
n
• 
A1B
=0
n
BD
=0
,即
x1-z1=0
y1-z1=0
,取
n
=(1,1,1 )

同理可得:
m
=(1,1,-y)

因?yàn)槎娼荕-BD-A1的大小為45°,
所以cos
n
,
m
=
2-y
3
2+y2
=
2
2
,解得:y=3
2
-4

所以|B1M|=3
2
-4

所以在棱B1C1上存在點(diǎn)M,使得二面角M-BD-A1的大小為45°,并且B1M的值為3
2
-4
點(diǎn)評:本題主要考查線面平行于線面垂直的判定定理,以及利用空間向量解決二面角的平面角的問題.
練習(xí)冊系列答案
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