Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是D₁C、AB的中點．
（I）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DD₁的中點G，連接GA，GE，推導(dǎo)出四邊形AFEG為平行四邊形，由此能夠證明EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面DEF和平面AEF的法向量，利用向量法能夠求出二面角D-EF-A的余弦值．

解答：（I）證明：如圖，取DD₁的中點G，連接GA，GE，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁C、AB的中點，
∴GE∥DC∥AB，GE=

1

2

DC=

1

2

AB=AF，
∴GE∥AF，GE=AF，四邊形AFEG為平行四邊形，
∴EF∥AG，AG?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）解：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長為2，則D（0，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（2，1，0），A（2，0，0），
∴

DE

=(0，1，1)，

DF

=(2，1，0)，

AE

=(-2，1，1)，

AF

=(0，1，0)，
設(shè)平面DEF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

DE

=0，

n

•

DF

=0，
∴

y+z=0 2x+y=0

，解得

n

=(-1，2，-2)，
設(shè)平面AEF的法向量

m

=(x1，y1，z1)，則

m

•

AE

=0，

m

•

AF

=0，
∴

-2x1+y1+z1=0 y1=0

，解得

m

=(1，0，2)，
設(shè)二面角D-EF-A的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-1+0-4

9 • 5

|=

5

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．