(2012•寶山區(qū)一模)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為2,E,F(xiàn)分別是BB1,CD的中點.
(1)求三棱錐E-AA1F的體積;
(2)求異面直線EF與AB所成角的大。ńY果用反三角函數(shù)值表示).
分析:(1)首先求出S△AA1E=
1
2
S正方形A1B1BA=2,然后通過證明CD∥平面A1B1BA和BC⊥平面A1B1BA,得到BC就是F到平面A1B1BA的距離,也是三棱錐E-AA1F的高,最后可用錐體體積公式,求出三棱錐E-AA1F的體積;
(2)連接EC,可得∠EFC(或其補角)即為異面直線EF與AB所成角.在Rt△EBC中,F(xiàn)C=
1
2
CD=1,EC=
5
,利用正切在直角三角形中的定義得tan∠EFC=
EC
FC
=
5
,即得異面直線EF與AB所成角的大小是arctan
5
解答:解:(1)∵正方形A1B1BA中,E為BB1的中點
∴三角形AA1E的面積S△AA1E=
1
2
S正方形A1B1BA=
1
2
×22=2
又∵CD∥AB,CD?平面A1B1BA,AB?平面A1B1BA,
∴CD∥平面A1B1BA,
∵正方體ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥平面A1B1BA,
∴BC即為直線CD到平面A1B1BA的距離,即F到平面A1B1BA的距離為2,
∴三棱錐E-AA1F的體積為V=
1
3
×S△AA1E×2=
4
3
…(6分)
(2)連接EC,因為AB∥CD,所以∠EFC(或其補角)即為異面直線EF與AB所成角,…(9分)
∵CF⊥平面C1B1CB,EC?平面C1B1CB,
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中,EC=
BC2+EB2
=
5
,
∵Rt△EBC中,F(xiàn)C=
1
2
CD=1,…(10分)
∴tan∠EFC=
EC
FC
=
5
,可得∠EFC=arctan
5
…(13分)
即異面直線EF與AB所成角的大小是arctan
5
.…(14分)
點評:本題在正方體中求三棱錐的體積并求異面直線所成的角,著重考查了空間直線與平面的位置關系和異面直線所成角的求法等知識,屬于基礎題.
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10
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3
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ak
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12
an
}
的前n項和為Sn,是否存在正數(shù)λ,對任意正整數(shù)n,k,使Sn
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