【題目】在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在鱉臑中,平面,,且,過點(diǎn)分別作于點(diǎn),于點(diǎn),連結(jié),當(dāng)的面積最大時(shí),__________.
【答案】
【解析】
利用平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得,結(jié)合已知,利用線面垂直的判定定理可以證明出平面,進(jìn)而可以證明出,再結(jié)合已知,利用線面垂直的判定定理可以證明平面,因此可以證明出,最后利用線面垂直定理證明出平面,因此得到,,且為中點(diǎn).
解法1:
設(shè),,利用三角形面積公式可以求出的長,在利用,求出的長,最后求出的面積表達(dá)式,利用換元法和配方法求出面積平方的最大值,最后求出的值;
解法2:
設(shè),求出、、、的大小,再求出的大小,最后求出
表達(dá)式,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系中商關(guān)系和基本不等式求出最大值,根據(jù)等號(hào)成立的條件求出的值.
因?yàn)?/span>平面,所以,又,
所以平面,所以,又,
所以平面,所以,又,
所以平面,綜上,,且為中點(diǎn).
解法1:
設(shè),,則,又,則,
又,可得,所以,
所以,令,
則
所以當(dāng)時(shí)即,,,此時(shí),故填.
解法2.
設(shè),則,所以.
又,,所以,所以
所以
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取等號(hào).
故答案為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓:經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),射線與橢圓交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線與橢圓交于,兩個(gè)相異點(diǎn),證明:面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學(xué)上也有很多創(chuàng)造,其最著名的成就是祖暅原理:夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,現(xiàn)有一個(gè)圓柱體和一個(gè)長方體,它們的底面面積相等,高也相等,若長方體的底面周長為,圓柱體的體積為,根據(jù)祖暅原理,可推斷圓柱體的高( )
A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:;
(Ⅲ)求證:對(duì)任意正整數(shù),都有 (其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),N(,-).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),求直線AB的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求線段的長和的積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)務(wù)極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線,
(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線和的交點(diǎn)為,,求以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底,,為常數(shù)且)
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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