Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點務極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，

(1)求曲線，的直角坐標方程；

(2)曲線和的交點為，，求以為直徑的圓與軸的交點坐標．

Answer 1

【答案】(1) ： ;: (2) 點坐標為或

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）先求出MN的中點坐標，|MN|的長，可求得圓的方程，再令x=0，即可求解．

（Ⅰ）由sin（θ+）=，得ρ（sinθcos+cosθsin）=，

將代入上得x+y=1，即C1的直角坐標方程為x+y+1=0，

同理由ρ2=，可得3x2-y2=1，∴C2的直角坐標方程為3x2-y2=1.

（Ⅱ）∵PM⊥PN，先求以MN為直徑的圓，設Mx1，y1），N（x2，y2），

由得3x2-（1-x）2=1，即x2+x-1=0，

∴，則MN的中點坐標為（-，），

由弦長公式，可得|MN|=|x1-x2|==．

∴以MN為直徑的圓：（x+）2+（y-）2=（）2，

令x=0，得+（y-）2=，即（y-）2=，∴y=0或y=3，

∴所求P點的坐標為（0，0）或（0，3）．