【題目】在無(wú)窮數(shù)列中,是給定的正整數(shù),,.
(Ⅰ)若,寫(xiě)出的值;
(Ⅱ)證明:數(shù)列中存在值為的項(xiàng);
(Ⅲ)證明:若互質(zhì),則數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(I)根據(jù)以及的值,由此求得的值,找出規(guī)律,求得的值.(II)利用反證法,先假設(shè),利用遞推關(guān)系找出規(guī)律,推出矛盾,由此證明原命題成立.(III)首先利用反證法證明數(shù)列中必有“1”項(xiàng),其次證明數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為“1”,由此證得原命題成立.
解:(I)由,以及,可知,,,從開(kāi)始,規(guī)律為兩個(gè)和一個(gè),周期為,重復(fù)出現(xiàn),故.
(II)反證法:假設(shè),由于 ,
記.則.
則,,
,,,
依次遞推,有,…,
則
當(dāng)時(shí),與矛盾.
故存在,使
所以,數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)值為的項(xiàng).
(III)首先證明:數(shù)列中必有“1”項(xiàng).用反證法,
假設(shè)數(shù)列中沒(méi)有“1”項(xiàng),由(II)知,數(shù)列中必有“0”項(xiàng),設(shè)第一個(gè)“0”項(xiàng)是 ,令,,則必有,
于是,由,則,因此是的因數(shù),
由,則或,因此是的因數(shù).
依次遞推,可得是的因數(shù),因?yàn)?/span>,所以這與互質(zhì)矛盾.所以,數(shù)列中必有“1”項(xiàng).
其次證明數(shù)列中必有無(wú)窮多項(xiàng)為“1”.
假設(shè)數(shù)列中的第一個(gè)“1”項(xiàng)是,令,,
則,
若 ,則數(shù)列中的項(xiàng)從開(kāi)始,依次為“1,1,0”的無(wú)限循環(huán),
故有無(wú)窮多項(xiàng)為1;
若,則,
若,則進(jìn)入“1,1,0”的無(wú)限循環(huán),有無(wú)窮多項(xiàng)為1;
若,則從開(kāi)始的項(xiàng)依次為,
必出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)“1”項(xiàng),從而進(jìn)入“1,1,0”的無(wú)限循環(huán),故必有無(wú)窮多項(xiàng)為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)設(shè)時(shí),存在,使方程成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷(xiāo)售量(單位:t)的影響.該公司對(duì)近5年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬(wàn)元)和年銷(xiāo)售量y(單位:t)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問(wèn)題:
①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬(wàn)元時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi),才能使得年利潤(rùn)與年宣傳費(fèi)的比值最大.
附:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lg(﹣x2+5x﹣6)的定義域?yàn)?/span>A,函數(shù)g(x),x∈(0,m)的值域?yàn)?/span>B.
(1)當(dāng)m=2時(shí),求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,且,,點(diǎn)E是線(xiàn)段PD的中點(diǎn).
Ⅰ求證:平面PAB;
Ⅱ求證:平面平面PCD;
Ⅲ當(dāng)直線(xiàn)PC與平面PAD所成的角大小為時(shí),求線(xiàn)段PA的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某部門(mén)在同一上班高峰時(shí)段對(duì)甲、乙兩座地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車(chē)等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車(chē)的時(shí)間,乘車(chē)等待時(shí)間不超過(guò)40分鐘).將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按,,,分組,制成頻率分布直方圖:
(1)求的值;
(2)記表示事件“在上班高峰時(shí)段某乘客在甲站乘車(chē)等待時(shí)間少于20分鐘”,試估計(jì)的概率;
(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間左端點(diǎn)值來(lái)估計(jì),記在上班高峰時(shí)段甲、乙兩站各抽取的50名乘客乘車(chē)的平均等待時(shí)間分別為,,求的值,并直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于的不等式的解集;
(2)若,求關(guān)于的不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)x2﹣xlnx,g(x)=(m﹣x)lnx+(1﹣m)x(m<0).
(1)討論函數(shù)f′(x)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與不重合),則下列結(jié)論正確的是__________
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面平面;
③的面積可能等于;
④若分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得
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