Question

【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1恒有零點(diǎn)．
（1）求m的范圍；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為﹣4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m+6=0時(shí)，m=﹣6，函數(shù)為y=﹣14x﹣5顯然有零點(diǎn)．

當(dāng)m+6≠0時(shí)，m≠﹣6，由△=4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）=﹣36m﹣20≥0，得m≤﹣ ．

∴當(dāng)m≤﹣ 且m≠﹣6時(shí)，二次函數(shù)有零點(diǎn)．

綜上可得，m≤﹣ ，即m的范圍為（﹣∞，﹣ ]

（2）解：設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有 x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

∵ + =﹣4，即 =﹣4，

∴﹣ =﹣4，解得m=﹣3．

且當(dāng)m=﹣3時(shí)，m+6≠0，△＞0，符合題意，

∴m的值為﹣3

【解析】（1）當(dāng)m+6=0時(shí)，即m=﹣6時(shí)，滿足條件．當(dāng)m+6≠0時(shí)，由≥0求得m≤﹣ 且m≠﹣6．綜合可得m的范圍．（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由條件并利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減��；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題．