Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為橢圓的上頂點(diǎn)，P為橢圓E上異于上、下頂點(diǎn)的一個(gè)動點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M為x軸的正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)．

①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點(diǎn)M，求AP的長．

②若，是否存在點(diǎn)N，滿足，且AN的中點(diǎn)恰好在橢圓E上？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在點(diǎn)滿足題意．

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程求出即可;

（2）①設(shè),則可表示出圓心坐標(biāo)可設(shè)為，，根據(jù)圓的性質(zhì)及點(diǎn)P在橢圓上列出方程組求解即可；

②設(shè)，，根據(jù)， AN的中點(diǎn)恰好在橢圓E上，且得到點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>是橢圓E的上頂點(diǎn)，所以．

當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，．

設(shè)，則，解得，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①設(shè)，則以AP為直徑的圓的圓心坐標(biāo)可設(shè)為．

又因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，

得．

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上，所以，

與聯(lián)立解得（負(fù)值舍去），

所以．

②設(shè)，．

因?yàn)?/span>，

所以，

解得，

所以AN的中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>AN的中點(diǎn)在橢圓E上，

所以．（*）

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上，

所以，（**）

與聯(lián)立消去得

．

又因?yàn)?/span>，所以，

代入（*）式和（**）式得

消去m得．

又因?yàn)?/span>．所以，

代入（**）式和，

解得（負(fù)值舍去），

故．

綜上，存在點(diǎn)，滿足

且AN的中點(diǎn)恰好在橢圓E上．