Question

【題目】如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦點為，，若以為直徑的圓內切于菱形，切點分別為，，，.則

（1）雙曲線的離心率______；

（2）菱形的面積與矩形的面積的比值______.

Answer 1

【答案】. .

【解析】

對于（1）由題意可得頂點和虛軸端點坐標及交點坐標，從而求得菱形的邊長，得到到直線的距離為，接下來根據雙曲線中的關系和離心率公式，即可得到所求值；對于（2），分別計算出菱形面積與矩形的面積，然后根據的關系求出它們的比值即可.

（1）直線的方程為，

所以到直線的距離為，

因為以為直徑的圓內切于菱形，

所以，

所以，

所以，即，

因為，解得，，

故答案為：.

（2）菱形的面積，

設矩形，，所以，

因為，所以，

所以矩形的面積，

所以，

由（1）知，所以，

故答案為：.