Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)在圓上，直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值；

（3）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），且直線與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為1.

【解析】

（1）由圓，令，求得或，進(jìn)而求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）把直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，列出方程，求得的值，即可得到結(jié)論；

（3）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，得出MN的直線方程，求得與軸的交點(diǎn)所以，得到，利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解.

（1）由題意，圓，令，解得或，

即圓與軸交點(diǎn)分別為，，所以或，

又由，因?yàn)?/span>，所以或，

又因?yàn)?/span>，所以，故橢圓方程是.

（2）設(shè)，，

聯(lián)立方程組，整理得，

所以，，則，

因?yàn)?/span>，可得，所以，

代入可得，解得，

所以，即為定值.

（3）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，，

所以直線的方程為，

令，可得，

所以，得到.

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的面積最大值為1.