【題目】已知實數(shù)滿足,且.證明:存在整數(shù),使得.
【答案】證明見解析
【解析】
記.
構造下列51個數(shù):,
,
.
下面證明中至少有一個在區(qū)間內.
由上述符號的含義,
知,
且.
所以.
(1)若,則由,得.
因此.
(2)若,假設都不在區(qū)間內,
則由,知.
結合假設,得.
又由,知.
所以中存在比小的數(shù),也存在比大的數(shù).
又,且都不在區(qū)間內.
因此,存在j∈{1,2,……,50},使得.
此時,.
另一方面,,兩者矛盾.
所以中至少有一個在區(qū)間內.
由(1)(2)知,中至少有一個在區(qū)間內.
由的定義知,結論成立
解法二:首先用數(shù)學歸納法證明
對于任意正整數(shù)n,若實數(shù)滿足,
則存在的一個排列,
使得.
證明如下:(1)當n=1時,結論顯然成立
(2)假設當n=k時,結論成立,
則當n=k+1時,由歸納假設知,存在的一個排列,
使得.
記,,
則.從而當時:
;
當時:
.
即當n=k+1時,結論也成立.
由(1)(2)知,對于任意正整數(shù)n,結論都成立.
回到本題,利用上述結論容易知道存在的一個排列滿足,,
且.
又,
所以或.
因此結論成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列結論中正確的個數(shù)是( )
①在中,“”是“”的必要不充分條件;
②若,的最小值為2;
③夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱;
④數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列的前項和.( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),,其中a,.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)若存在極值點,且,其中,求證:;
(3)設,函數(shù),求證:在區(qū)間上的最大值不小于.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】線段AB為圓的一條直徑,其端點A,B在拋物線 上,且A,B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.
(1)求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程;
(2)過M點的直線l交拋物線C于P,Q兩點,拋物線C在P,Q處的切線相交于N點,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為利于分層教學,某學校根據(jù)學生的情況分成了,,三類,經過一段時間的學習后在三類學生中分別隨機抽取了1個學生的5次考試成績,其統(tǒng)計表如下:
類
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分數(shù)(小于等于)150 | 145 | 83 | 95 | 72 | 110 |
,;
類
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分數(shù)(小于等于)150 | 85 | 93 | 90 | 76 | 101 |
,;
類
第次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
分數(shù)(小于等于)150 | 85 | 92 | 101 | 100 | 112 |
,;
(1)經計算已知,的相關系數(shù)分別為,,請計算出學生的的相關系數(shù),并通過數(shù)據(jù)的分析回答抽到的哪類學生學習成績最穩(wěn)定;(結果保留三位有效數(shù)字,越大認為成績越穩(wěn)定);
(2)利用(1)中成績最穩(wěn)定的學生的樣本數(shù)據(jù),已知線性回歸方程為,利用線性回歸方程預測該生第九次的成績.
參考公式:(1)樣本的相關系數(shù);
(2)對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點為拋物線上的動點,是拋物線的焦點,當時,.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作圓:的切線,,分別交拋物線于點.當時,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖兩個同心球,球心均為點,其中大球與小球的表面積之比為3:1,線段與是夾在兩個球體之間的內弦,其中兩點在小球上,兩點在大球上,兩內弦均不穿過小球內部.當四面體的體積達到最大值時,此時異面直線與的夾角為,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長為2的菱形,點E,F分別為棱DC,BC的中點,點G是棱SC靠近點C的四等分點.
求證:(1)直線平面EFG;
(2)直線平面SDB.
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