過點C（0，1）的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率為
3
2
，橢圓與x軸交于兩點A（a，0）、B（-a，0），過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
（3）當(dāng)點P異于點B時，求證：
OP
•
OQ
為定值．
分析：（1）由已知得b=1，
c
a
=
3
2
，由a2=c2+b2可求a，b，進而可求橢圓方程
（2）由橢圓的右焦點為(
3
，0)，可得直線l的方程為 y=-
3
3
x+1，聯(lián)立橢圓方程可求D，根據(jù)弦長公式可求CD
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符，故設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0且k≠
1
2
)．代入橢圓方程可求D點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AC，直線BD的方程可求Q，結(jié)合已知P可求
OP
，
OQ
，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示代入可證
解答：解：（1）由已知得b=1，
c
a
=
3
2
，由a2=c2+b2=c2+1
解得a=2，
故橢圓方程為
x2
4
+y2=1．…（3分）
（2）橢圓的右焦點為(
3
，0)，此時直線l的方程為 y=-
3
3
x+1，
代入橢圓方整理可得，7x2-8
3
x=0，解得x1=0，x2=
8
3
7
，
代入直線l的方程得 y1=1，y2=-
1
7
，所以D(
8
3
7
，-
1
7
)，
故|CD|=
(
8
3
7
-0)2+(-
1
7
-1)2
=
16
7
．…（6分）
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符．…（7分）
設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0且k≠
1
2
)．代入橢圓方程得（4k2+1）x2+8kx=0．
解得x1=0，x2=
-8k
4k2+1
，代入直線l的方程得y1=1，y2=
1-4k2
4k2+1
，
所以D點的坐標(biāo)為(
-8k
4k2+1
，
1-4k2
4k2+1
)．…（10分）
又直線AC的方程為
x
2
+y=1，又直線BD的方程為y=
1+2k
2-4k
(x+2)，聯(lián)立得
x=-4k
y=2k+1.

因此Q（-4k，2k+1），又P(-
1
k
，0)．
所以
OP
•
OQ
=(-
1
k
，0)(-4k，2k+1)=4．
故
OP
•
OQ
為定值．…（14分）
點評：本題主要考察了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與曲線相交的弦長公式的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于圓錐曲線問題的綜合應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，方程
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1(a＞b＞c＞0)表示中心在原點、其軸與坐標(biāo)軸重合的某橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程．2a，2b，2c分別叫做橢球面的長軸長，中軸長，短軸長．類比在平面直角坐標(biāo)系中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，若橢球面的中心在原點、其軸與坐標(biāo)軸重合，平面xOy截橢球面所得橢圓的方程為
x2
9
+
y2
16
=1，且過點M(1，2，
23
)，則此橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
9
+
y2
16
+
z2
36
=1
x2
9
+
y2
16
+
z2
36
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，斜率為1的直L與橢C交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點．
（Ⅰ）若橢圓的離心率e=
3
2
，直線l過點M（b，0），且
OA
•
OB
=-
12
5
，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的右焦點F，設(shè)向量
OP
=λ（
OA
+
OB
）（λ＞0），若點P在橢C上，λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點，且橢C的離心e=
1
2
，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個由區(qū)間（0，k）（其中k為一正實數(shù)）到實數(shù)集R上的映射過程：區(qū)間（0，k）中的實數(shù)m對應(yīng)線段AB上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個離心率為
3
2
的橢圓，使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點，如圖2；再將這個橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，已知此時點A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點N（n，-2），則與實數(shù)m對應(yīng)的實數(shù)就是n，記作f（m）=n，

現(xiàn)給出下列5個命題①f(
k
2
)=6；②函數(shù)f（m）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（m）在（0，k）上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（m）的圖象關(guān)于點(
k
2
，0)對稱；⑤函數(shù)f(m)=3
3
時AM過橢圓的右焦點．其中所有的真命題是（　�。�

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