【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,ACBD=O,△PAC是邊長為2的等邊三角形,

1)求四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD;

2)在線段PB上是否存在一點M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求的值,如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)2;(2)

【解析】

1)證明PO⊥平面ABCD,計算PO,AC,BD,代入體積公式計算;

2)過C構(gòu)造平面BCE,使得平面BCEBDF,利用三角形的中線的性質(zhì)得出M的位置.

1)解:∵底面ABCD是菱形,∴OAC,BD的中點

又∵PA=PCPB=PD,∴POACPOBD,

ACBD=O,ACABCDBDABCD,

PO⊥底面ABCD

PAC中,AC=2,∴,△PBD中,,

2)過CCEBDAB延長線于E,過EEHBFPAH,EHPB交點為M,

CEBDBDBDF,CEBDF,∴CE∥面BDF,

EHBF,BFBDF,EHBDF,∴EH∥面BDF,

又∵CEEH=ECECEM,EHCEM

∴面BDF∥面CEM,CMCEM

CM∥面BDF,

BDCEDCBE,

∴四邊形BECD為平行四邊形,∴DC=BE=ABBAE中點,

HPA中點,

M為中線PB與中線EH的交點,

M是△APE的重心,∴=

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