Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)，，其中為常數(shù)，且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù).

（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求其定義域；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域

（3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰好為？若存在，試寫(xiě)出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）定義域?yàn)?/span>；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意得的，再計(jì)算定義域得到答案.

（2）設(shè)，化簡(jiǎn)得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到值域.

（3）計(jì)算當(dāng)時(shí)，且時(shí)，根據(jù)單調(diào)性得到不等式，計(jì)算得到答案.

（1），定義域?yàn)?/span>

（2），設(shè)

根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在單調(diào)遞增，故，故值域?yàn)?/span>

（3）存在；根據(jù)（2）知，，

根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，且時(shí)，函數(shù)的值域恰好為

故，構(gòu)成的集合為