【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點.

（1）若點P的極坐標(biāo)為（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值.

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.求得的直角坐標(biāo)，由此判斷在直線上，求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，化簡后寫出韋達定理，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.

（2）求得橢圓內(nèi)接矩形周長的表達式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得周長的最大值.

（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.

點P的極坐標(biāo)為（2，π），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為（﹣2，0）由于點P（﹣2，0）在直線l上，

所以直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為（t為參數(shù)），

所以代入曲線的方程為，

整理得，

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4.

（2）不妨設(shè)Q（），（），

所以該矩形的周長為4（）＝16sin（）.

當(dāng)時，矩形的周長的最大值為16.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某調(diào)查機構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：

x

1

2

3

4

5

y

17.0

16.5

15.5

13.8

12.2

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？

參考公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了100名高中生，根據(jù)問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

作文成績優(yōu)秀

作文成績一般

總計

課外閱讀量較大

35

20

55

課外閱讀量一般

15

30

45

總計

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量的大小與作文成績優(yōu)秀有關(guān)；

（2）若用分層抽樣的方式從課外閱讀量一般的高中生中選取了6名高中生，再從這6名高中生中隨機選取2名進行面談，求面談的高中生中至少有1名作文成績優(yōu)秀的概率．

附：，其中．

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.現(xiàn)擬從這5部專著中選擇2部作為學(xué)生課外興趣拓展參考書目，則所選2部專著中至少有一部不是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷某種新鮮蔬菜（以下簡稱蔬菜），購入價為200元/袋，并以300元/袋的價格售出，若前8小時內(nèi)所購進的蔬菜沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的蔬菜以150元/袋的價格低價處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗，2小時內(nèi)完全能夠把蔬菜低價處理完，且當(dāng)天不再購進）.該蔬菜批發(fā)商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計了100天蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量，制成如下頻數(shù)分布條形圖.

（1）若某天該蔬菜批發(fā)商共購入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小時內(nèi)分別被4名顧客購買，剩下2袋在8小時后被另2名顧客購買.現(xiàn)從這6名顧客中隨機選2人進行服務(wù)回訪，則至少選中1人是以150元/袋的價格購買的概率是多少？

（2）以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù).

（i）若今年蔬菜上市的100天內(nèi)，該蔬菜批發(fā)商堅持每天購進6袋蔬菜，試估計該蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷蔬菜的總盈利值；

（ii）若明年該蔬菜批發(fā)商每天購進蔬菜的袋數(shù)相同，試幫其設(shè)計明年的蔬菜的進貨方案，使其所獲取的平均利潤最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值，那么可以估計的值約為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰梯形中，，，，點為的中點.將沿折起，使點到達的位置，得到如圖所示的四棱錐，點為棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】光伏發(fā)電是將光能直接轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù)，具有資源的充足性及潛在的經(jīng)濟性等優(yōu)點，在長期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位，2015年起，國家能源局、國務(wù)院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個縣開展光伏扶貧試點，在某縣居民中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其年用量得到以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.

用電量（單位：度）

戶數(shù)

7

8

15

13

7

(Ⅰ)在該縣居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)在總結(jié)試點經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，將村級光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組，該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度，試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接受益多少元？

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