【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，點是棱的中點，，點是棱上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）若，，點在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，可得出，再證明可得出，利用線面垂直的判定定理可得出結論；

（2）過點作的平行線交于點，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出的坐標，并計算出平面的法向量，利用空間向量法能計算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）因為平面，且平面，所以，

又，，所以平面，

平面，故，

因為，，，

因為平面，平面，所以，

所以，所以，又，平面；

（2）因為，，則，，

過點作的平行線交于點，因為平面，所以平面，

又因為，故可以、、分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則部分點坐標為：，，，，

則，，，

因為點在棱上，且，則，

則，即有，即，

由（1）知平面，則為平面的一個法向量，

設直線與平面所成角為，則，

即直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品，正品重，次品重，現(xiàn)有5袋產(chǎn)品（每袋裝有10個產(chǎn)品），已知其中有且只有一袋次品（10個產(chǎn)品均為次品）如果將5袋產(chǎn)品以1～5編號，第袋取出個產(chǎn)品（），并將取出的產(chǎn)品一起用秤（可以稱出物體重量的工具）稱出其重量，若次品所在的袋子的編號是2，此時的重量_________；若次品所在的袋子的編號是，此時的重量_______.

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【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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【題目】質檢部門為了解某企業(yè)生產(chǎn)的一-種圓柱形零件的質量情況，隨機抽檢了100個零件，得到這些零件的橫截面直徑d（單位：）的頻率分布表如下：

d的分組

零件數(shù)

12

38

38

10

2

（1）試估計這個企業(yè)生產(chǎn)的這類零件的橫截面直徑不低于的概率；

（2）求這個企業(yè)生產(chǎn)的這類零件的橫截面直徑的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）

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【題目】已知函數(shù)．

（1）令，討論的單調性；

（2）若，求a的取值范圍．

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【題目】如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷量約占50%，蘋果銷量約占20%，三星銷量約占30%）．根據(jù)該圖，以下結論中一定正確的是（　�。�

A.華為的全年銷量最大B.蘋果第二季度的銷量大于第三季度的銷量

C.華為銷量最大的是第四季度D.三星銷量最小的是第四季度

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【題目】自由購是一種通過自助結算購物的形式．某大型超市為調查顧客自由購的使用情況，隨機抽取了100人，調查結果整理如下：

20以下

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（1）現(xiàn)隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在[30，50）且未使用自由購的概率；

（2）從被抽取的年齡在[50，70]使用的自由購顧客中，隨機抽取2人進一步了解情況，求這2人年齡都在[50，60）的概率；

（3）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋？

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2acoskπlnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；

（2）若k＝2018，關于x的方程f（x）＝2ax有唯一解，求a的值；

（3）當k＝2019時，證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

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