【題目】如圖,在長方體中,點分別是棱,上的動點,,直線與平面所成的角為,則△的面積的最小值是________.
【答案】8
【解析】
以C為原點,CD,CB,CC′為坐標軸建立空間直角坐標系,設P(0,a,0),Q(b,0,0),求出平面PQC′的法向量,則由解出a,b的關系式,利用基本不等式得出的面積的最小值,再利用等體積法求出△的面積的最小值.
以C為原點,CD,CB,CC′為坐標軸建立空間直角坐標系,如圖所示:
則C(0,0,0), 設P(0,a,0),Q(b,0,0),于是0<a≤4,0<b≤3.
設平面PQC′的一個法向量為 則
,令z=1,得
,
,解得ab≥8(當且僅當時等號成立),
∴當ab=8時,S△PQC=4,棱錐C′-PQC的體積最小,
∵直線CC′與平面PQC′所成的角為30°,∴C到平面PQC′的距離d=2
∵VC′-PQC=VC-PQC′,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中,,平面平面
(I)求證:;
(II)若M為中點,求證:平面;
(III)在線段BC上(含端點)是否存在點P,使直線DP與平面所成的角為?若存在,求得值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某生產企業(yè)研發(fā)了一種新產品,該新產品在某網店試銷一個階段后得到銷售單價和月銷售量之間的一組數(shù)據,如下表所示:
銷售單價(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
月銷售量(萬件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(I)根據統(tǒng)計數(shù)據,求出關于的回歸直線方程,并預測月銷售量不低于12萬件時銷售單價的最大值;
(II)生產企業(yè)與網店約定:若該新產品的月銷售量不低于10萬件,則生產企業(yè)獎勵網店1萬元;若月銷售量不低于8萬件且不足10萬件,則生產企業(yè)獎勵網店5000元;若月銷售量低于8萬件,則沒有獎勵. 現(xiàn)用樣本估計總體,從上述5個銷售單價中任選2個銷售單價,求抽到的產品含有月銷售量不低于10萬件的概率.
參考公式:對于一組數(shù)據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為. 參考數(shù)據:.
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【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況,隨機訪問50名職工,根據這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據分組區(qū)間為
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;
(3)從評分在的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人評分都在的概率.
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【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2+a15=17,S10=55.數(shù)列{bn}滿足an=log2bn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn滿足Tn=S32+18,求n的值.
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)().
(1)求實數(shù)的值;
(2)試判斷函數(shù)在上的單調性,并證明你的結論;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評選活動,評委由本校全體學生組成,對兩位選手,隨機調查了個學生的評分,得到下面的莖葉圖:
通過莖葉圖比較兩位選手所得分數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,得出結論即可);
校方將會根據評分記過對參賽選手進行三向分流:
所得分數(shù) | 低于分 | 分到分 | 不低于分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 復賽待選 | 直接晉級 |
記事件“獲得的分流等級高于”,根據所給數(shù)據,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】已知函數(shù),其導函數(shù)為.
(1)當,求圖象在處的切線方程;
(2)設在定義域上是單調函數(shù),求得取值范圍;
(3)若的極大值和極小值分別為、,證明:.
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