設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)．已知對(duì)于任意正數(shù)x，都有f[f(x)+
2
x
]=
1
f(x)
，且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f（a+2），并求a的值；
（Ⅱ）令an=
1
f(n)
，n∈N*，證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）對(duì)x進(jìn)行賦值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于a的方程，解之即可；
（Ⅱ）對(duì)x進(jìn)行賦值，先取x=n，然后取x=x=
1
an
+
2
n
，建立等量關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于an的方程，求出an，再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可．
解答：解：（Ⅰ）取x=1，則f(a+2)=
1
a
；
再取x=a+2，則f(
1
a
+
2
a+2
)=a=f(1)
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)∴
1
a
+
2
a+2
=1，
解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（Ⅱ）取x=n，
則f[f(n)+
2
n
]=
1
f(n)
，f[
1
an
+
2
n
]=
1
f(n)
=an
再取x=
1
an
+
2
n
，
則f[f(
1
an
+
2
n
)+
2
1
an
+
2
n
]=
1
f(
1
an
+
2
n
)
=f(n)
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)
∴an+
2
1
an
+
2
n
=n，即2an2+nan-n2=0
解之得：an=
n
2
，或an=-n（舍去）
又an+1-an=
1
2
（常數(shù)）n∈N*
所以，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及等差數(shù)列的求和等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題之列．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
12
對(duì)稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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