設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,而當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=-x2+4x-4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
(Ⅲ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.
分析:(I)根據(jù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(x+1)=g(1-x)即f(x)=g(2-x),從而可求出-1≤x≤0時(shí)函數(shù)f(x)的解析式,最后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在0<x≤1上的解析式;
(II)當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1≠x2時(shí),0<x1+x2<2,代入解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,即可證得結(jié)論;
(III)當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1≠x2時(shí),0≤x12≤1,0≤x22≤1∴-1≤x22-x12≤1即|x22-x12|≤1,即可證得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由題意知f(x+1)=g(1-x)?f(x)=g(2-x)
當(dāng)-1≤x≤0時(shí),2≤2-x≤3,f(x)=-(2-x)2+4(2-x)-4=-x2
當(dāng)0<x≤1時(shí),-1≤-x<0∴f(-x)=-x2,
由于f(x)是奇函數(shù)∴f(x)=x2f(x)=
-x2(-1≤x≤0)
x2(0<x≤1)

(Ⅱ)當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1≠x2時(shí),0<x1+x2<2,
∴|f(x2)-f(x1)|=|x22-x12|=|(x2-x1)(x2+x1)|<2|x2-x1|
(Ⅲ)當(dāng)x1,x2∈[0,1]且x1≠x2時(shí),0≤x12≤1,0≤x22≤1,
∴-1≤x22-x12≤1即|x22-x12|≤1.∴|f(x2)-f(x1)|=|x22-x12|≤1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)的解析式的求解和不等式的證明,同時(shí)考查了化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
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,2)
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,2)

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