Question

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，并給以證明；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩根為，試問是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意的及恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）存在實(shí)數(shù)符合題意，其取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）由可得，所以，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（2）由題意先求出的最大值為3，所以由題意可得當(dāng)，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需滿足，解得或，由此可得所求范圍，從而說(shuō)明存在實(shí)數(shù)滿足題意。

試題解析：

（1）∵，

∴，

∴。

設(shè)，且，

則，

①當(dāng)時(shí)， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）由，得，

∴是方程的兩根，

∴，

又，

∴，

故由題意得當(dāng)，不等式恒成立，

設(shè)，

則只須，

解得或，

故存在實(shí)數(shù)符合題意，其取值范圍是．