設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．對任意的x＞0，y＞0．都有f(
xy
)=f(x)-f(y)恒成立，且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）探究f（x）在（0，+∞）上是否具有單調(diào)性；
（3）你能找出符合本題條件的一個函數(shù)嗎？請將你找到的函數(shù)寫出來．
分析：（1）由題意給式中的x，y特殊的值可得f（1）的值；
（2）由單調(diào)性的定義結(jié)合題干可證函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由條件和結(jié)論，可找到對數(shù)函數(shù)y=log2x符合題意．
解答：解：（1）由題意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
所以所求的值為：f（1）=0
（2）設(shè)0＜x1＜x2，令x=x1，y=x2，
則f(
x2
x1
)=f(x2)-f(x1)，∵0＜x1＜x2，
∴
x2
x1
＞1，∴f(
x2
x1
)＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
（3）由條件和結(jié)論，可找到函數(shù)y=log2x符合題意．
點評：本題為抽象函數(shù)問題，解決問題的關(guān)鍵是利用好函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-
3
2
）與b=f（
15
2
）的大小關(guān)系為
a＞b
a＞b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當(dāng)x∈[0，
1
4
]時，f（x）≥2x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-數(shù)學(xué)公式）與b=f（數(shù)學(xué)公式）的大小關(guān)系為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年安徽省蚌埠二中高三（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-）與b=f（）的大小關(guān)系為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省月考題 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣cosx，則a=f（﹣）與b=f（）的大小關(guān)系為（    ）．

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