【題目】已知橢圓：（）的離心率為，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）設為坐標原點，取上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓面積的最小值時點的坐標．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)運用拋物線的定義求解；(3)借助題設運用圓與拋物線的位置關系探求.

試題解析：

（1）由，得，再由，解得……………………1分

由題意可知，即…………………………………………………2分

解方程組得，……………………………………………………3分

所以橢圓的方程是……………………………………………………………4分

（2）因為，所以動點到定直線：的距離等于它到定點的距離，所以動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，…………………………………………6分

所以點的軌跡的方程為………………………………………………………7分

（3）因為以為直徑的圓與相交于點，所以，即…8分

設，，，

所以

因為，，化簡得……………………………………9分

所以，

當且僅當即，時等號成立．…………………………10分

圓的直徑

因為，所以當即時，，…………………11分

所以所求圓的面積的最小時，點的坐標為………………………………12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當a=﹣2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（I）求證：恒成立；

（II）若存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，四棱錐，底面側面，分別為的中點，且，，，.

（I）證明：平面；

（II）設，求三棱錐的體積.

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已知函數(shù).

（I）求證：恒成立；

（II）若存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】定義的零點為的不動點，已知函數(shù).

Ⅰ.當時，求函數(shù)的不動點；

Ⅱ.對于任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)的取值范圍；

Ⅲ.若函數(shù)只有一個零點且,求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列4個命題：

①為了了解800名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為40；

②四邊形為長方形，，，為中點，在長方形內(nèi)隨機取一點，取得的點到的距離大于1的概率為；

③把函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得到的圖象；

④已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為，則回歸直線方程為.

其中正確的命題有__________．(填上所有正確命題的編號)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的普通方程；

（2）經(jīng)過點（平面直角坐標系中點）作直線交曲線于兩點，若恰好為線段的三等分點，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證： ；

（3）求證：當時， ， 恒成立.

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