Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)P(1，

3

2

)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)G(

1

8

，0)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得到關(guān)于a，b的兩個方程，解出對應(yīng)a，b的值即可．
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，找到關(guān)于點(diǎn)M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)，把其代入線段MN的垂直平分線方程，可以得到k和m之間的一個等量關(guān)系，再利用直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，對應(yīng)判別式大于0，就可求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意有

2a=4 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a=2 b= 3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

?（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點(diǎn)
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3
又x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)
∵p在l'上∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)
即4k²+8km+3=0∴m=-

1

8k

(4k2+3)
將上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3∴k²＞

1

20

即k＞

5

10

或k＜-

5

10

∴k的取值范圍為(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問題．在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，用定義是常用的方法．