【題目】設(shè)函數(shù),

1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;

2)①證明:當時,函數(shù)上恰有一個極值點;

②求實數(shù)的取值范圍,使得對任意的,恒有成立.

注:為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】1的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)①證明見解析;②.

【解析】

1)求導(dǎo)后,由得遞增區(qū)間,由得遞減區(qū)間;

2)①求導(dǎo)兩次后,利用零點存在性定理和極值點的概念可證結(jié)論;②當時,根據(jù)單調(diào)性可知不合題意,當時,利用①的結(jié)論,可知上的最大值為,再將恒成立轉(zhuǎn)化為最大值即可解決.

1)當時,,,

,得,由,得

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

2)①證明:當時,,

,則

因為,所以,

時,,,當時,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因為,,

根據(jù)零點存在性定理可知,函數(shù)上有唯一實根,設(shè)為,則,

所以當時,,當時,,

所以函數(shù)上遞減,在上遞增,所以處取得極小值,

所以當時,函數(shù)上恰有一個極值點.

②當時,,由①知上恒成立,

所以上為增函數(shù),所以

所以上遞增,所以恒成立, 不合題意,

時,由①知,函數(shù)上遞減,在上遞增,

設(shè)函數(shù)上的最大值為,則,

若對任意的,恒有成立.

,因為,所以由,

,得,得,

因為,所以.

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優(yōu)

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輕度污染

中度污染

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重度污染

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重度污染

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非供暖季

合計

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