Question

【題目】平面上有奇數條線段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設定方向的線段設定一個方向，直至某次（甲）設定后，所有線段各有了一個方向為止.如果最后得到的所有向量之和的模長不小于原來每條線段長，則甲獲勝，否則乙獲勝.問：誰有必勝策略？證明你的結論.

Answer 1

【答案】甲有必勝策略.

【解析】

若只有1條線段，顯然，甲獲勝.

下面設線段總條數為，不妨設在所給線段中，最長.

設在上的投影長度為，不妨設，.

甲可采取如下策略取勝：

首先，任給線段設一個方向，并把余下線段配成組，以后，乙每設定一條線段的方向，甲就設定同一組另一條線段的方向，并保證對于，與反向；與同向.

于是，最后得到的所有向量之和在上的投影長或其相反數為

.

故為投影長（而非相反數）且.

于是，最后所有向量之和的模長大于或等于，進而，大于或等于原來每條線段長.

因此，甲將獲勝.