Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當函數(shù)存在零點時，求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或（2）當，在區(qū)間上沒有零點；當或時，在上只有1個零點；當時，在區(qū)間上有2個零點.

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有根的問題，根據(jù)進行計算；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，以及的正負，結(jié)合零點存在定理，對參數(shù)進行分類討論即可.

（1）因為函數(shù)有零點，

所以方程有實數(shù)根.

所以，解得，或

因此，所求的取值范圍是，或.

（2）由題意可知的對稱軸為，

由（1）知：①當時，，

故在內(nèi)沒有零點；

②當時，對稱軸,

故在上單調(diào)遞增.

又因為，故在區(qū)間恒成立，

故在區(qū)間上沒有零點；

③當時，=，則函數(shù)零點為，

故在區(qū)間上只有一個零點；

④當時，對稱軸，且，

又因為

當時，即時，由零點存在定理得

函數(shù)在區(qū)間上只有1個零點，

當，且，即時，

在上有2個零點，

當，且，即且

不存在此類情況.

綜上所述：

當，在區(qū)間上沒有零點；

當或時，在上只有1個零點；

當時，在區(qū)間上有2個零點.