【題目】已知二次函數(shù)的最小值為,且.

(1)求的解析式;

(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】試題分析: (1)由, 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得函數(shù)的對(duì)稱軸,又已知函數(shù)的最小值,可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,再,得值,可得二次函數(shù);(2)二次函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),則對(duì)稱軸方程在此區(qū)間內(nèi),可得關(guān)于的不等式,解不等式即可;(3)將圖像問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,即在區(qū)間上恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值大于的問題.可得的范圍.

試題解析: (1),故二次函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,又由二次函數(shù)的最小值為,故可設(shè) ,由,得,故.

(2)要使函數(shù)不單調(diào),則,則.

(3)若在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,即在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,設(shè),則只要,而,得.

點(diǎn)睛:求二次函數(shù)的解析式的三種方式實(shí)質(zhì)是特定系數(shù)法,其解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式,把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題通過引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程來解決.(1)一般式法:已知三點(diǎn)一般設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式,即;(2)交點(diǎn)式法:已知與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,一般設(shè)為;(3)頂點(diǎn)式法:已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為,可以設(shè)頂點(diǎn)為.

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