Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)，函數(shù)f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）后得到的y=g（x）的圖象；若函數(shù)y=g（x），x∈(

π

2

，3π)的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，把向量

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，代入化簡，利用f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱求出ω，得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）按照將y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）后，求出函數(shù)
y=g（x）的圖象；求出函數(shù)y=g（x），x∈(

π

2

，3π)的范圍，圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，列出方程，求a的值．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)
∴

a

+

b

=(

3

cosωx+sinωx，sinωx)f(x)=(

3

cosωx+sinωx，sinωx)•(sinωx，0)-

1

2

=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得ω=

3

2

k+1
∵ω∈(-

1

2

，

5

2

)，∴-

1

2

＜

3

2

k+1＜

5

2

，∴-1＜k＜1（k∈Z），∴k=0，ω=1
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)
（2）將f(x)=sin(2x-

π

6

)的圖象向左平移

π

3

個單位后，
得到f(x)=sin[2(x+

π

3

)-

π

6

]=sin(2x+

π

2

)=cos2x，
再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）后，得到y(tǒng)=g（x）=cosx
函數(shù)y=g（x）=cosx，x∈(

π

2

，3π)的圖象與y=a的圖象有三個交點坐標(biāo)分別為（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a）且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π，
則由已知結(jié)合如圖圖象的對稱性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2 2 =π x2+x3 2 =2π

，解得x2=

4π

3

∴a=cos

4π

3

=-

1

2

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．