Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，記函數(shù)f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

（1）若f（x）的圖象中兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離

π

2

，求ω及f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）在（1）的條件下，且x∈[-

π

6

，

π

6

]，求最大值．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角及和差角公式可得，f（x）=sin（2ωx-

π

6

）
（1）由題意可得函數(shù)的周期T=π，代入周期公式T=

2π

2ω

可求ω，從而可得f（x）=sin（2x-

π

6

），令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤ 

3π

2

+ 2kπ，k∈Z可求
（2）由-

π

6

≤x≤

π

6

求出-

π

2

≤2x- 

π

6

≤

π

6

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）由條件得f(x)=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)
∵f（x）的圖象中兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離

π

2

∴T=π∴ω=1∴f(x)=sin(2x-

π

6

)
∴單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]k∈Z
（2）由（1）得f(x)=sin(2x-

π

6

)∵x∈[-

π

6

，

π

6

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]
令2x-

π

6

=t，則t∈[-

π

2

，

π

6

]
∴f（t）=sint當(dāng)t=

π

6

，即x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值為

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積為載體，主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式，兩角差的正弦公式，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、三角函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值的求解．