Question

【題目】如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S﹣ABCD，該四棱錐的體積為．

（1）求半球的半徑．

（2）求平面SAD與平面SBC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

設(shè)球的半徑為r,由S﹣ABCD 為正四棱錐,利用球的半徑表示棱錐的體積即可求解;

以O為原點(diǎn)，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出平面SAD與平面SBC的法向量,則向量夾角的余弦值或其相反數(shù)即為所求.

（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，

因?yàn)?/span>S﹣ABCD 為正四棱錐，所以SO⊥平面ABCD，

設(shè)球的半徑為r，則，，

所以，

，

解得r，即半球的半徑為；

（2）以O為原點(diǎn)，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（r，0，0），B（0，r，0）C（﹣r，0，0），D（0，﹣r，0），S（0，0，r），

所以，，

設(shè)平面SAD的法向量為，

由，得，

設(shè)平面SBC的法向量，

由，得，

由，

因?yàn)槠矫?/span>SAD與平面SBC所成的二面角為銳角,

所以平面SAD與平面SBC所成的二面角余弦值為．