Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先得到，由不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)分，，再利用導(dǎo)數(shù)論證即可.

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，易得，將證，，轉(zhuǎn)化為證明，然后分，，令，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合證明即可.

（1），，

，，

（i），，在遞增，又，與題意不符，舍去.

（ii），；，在遞減，在遞增，

，

由已知得恒成立，

所以需，

所以需①

設(shè)，，，，

在遞增，在遞減，所以，即②

由①②得實(shí)數(shù)的值1.

綜上.

（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，即，，

欲證：，，即證：，

即證：.

①當(dāng)時(shí)，，

②當(dāng)時(shí)，令，則，；，

在遞減，在遞增，所以時(shí)，，

由已知，故，即當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，

綜上，時(shí)，恒成立，故，

成立.