Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是等腰梯形，，，點E在線段上，且.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點F，連接，證得，由此可證明平面；

（2）取中點O，取中點H，連接，，則，以O為原點，以方向為x軸，方向為y軸，以方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.

解：（1）連接，交于點F，連接.

在等腰梯形中，，，則，，

又，則，所以，

所以，

又，，所以.

（2）取中點O，取中點H，連接，，顯然.

又平面，平面，所以.

由于O、H分別為、中點，四邊形是等腰梯形.

則，故以O為原點，以方向為x軸，方向為y軸，

以方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則、、、，

可得、、、

，

設(shè)平面的一個法向量為，由、可得

令，可得，，則.

設(shè)平面的一個法向量為，由、可得

令，可得，，則.

從而，

則二面角的余弦值為.