Question

設(shè)g（x）=2x+

1

x

，x∈[

1

4

，4]．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（簡(jiǎn)單說(shuō)明理由，不必嚴(yán)格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（

2

2

）；
（3）設(shè)已知函數(shù)f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，則f₁（x）=-1，x∈[-

π

2

，

π

2

]，f₂（x）=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，設(shè)φ（x）=

g(x)+g(2x)

2

+

|g(x)-g(2x)|

2

，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=ax+

b

x

（a＞0，b＞0，x＜0）單調(diào)性及奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）問(wèn)g（x）的單調(diào)性可證明；
（3）先求定義域x∈[

1

4

，2]．由定義求出φ（x），φ₁（x），φ₂（x），進(jìn)而表示出φ₁（x）-φ₂（x），由題設(shè)條件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值及φ₁（x）-φ₂（x）的最大值問(wèn)題即可解決．

解答：解：（1）∵g（x）=2x+

1

x

為奇函數(shù)．奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同，
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上遞減，g（x）在x∈[

2

2

，4]上遞增；
（2）用最值的定義證明：
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上遞減，
對(duì)任意x∈[

1

4

，

2

2

]，都有g(shù)（

1

4

）≥g（x）≥g（

2

2

）；
g（x）在x∈[

2

2

，4]上遞增，對(duì)任意x∈[

2

2

，4]，都有g(shù)（4）≥g（x）≥g（

2

2

）．
綜上，g（x）的最小值為g（

2

2

）．
（3）先求定義域x∈[

1

4

，2]．
φ（x）=

g(x)+g(2x)

2

+

|g(x)-g(2x)|

2

=

g(x)，x∈[ 1 4 ， 1 2 ) g(2x)，x∈[ 1 2 ，2]

，
φ₁（x）=

3，x∈[ 1 2 ，2] 2x+ 1 x ，x∈[ 1 4 ， 1 2 )

，）=

9 2 ，x∈[ 1 4 ，1) 4x+ 1 2x ，x∈[1，2]

，
φ₁（x）-φ₂（x）=

2x+ 1 x - 9 2 ，x∈[ 1 4 ， 1 2 ) - 3 2 ，x∈[ 1 2 ，1) 3-4x- 1 2x ，x∈[1，2]

，
由題設(shè)條件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值為-5.25．
φ₁（x）-φ₂（x的最大值為0，
∴p≤-5.25，m≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．