Question

（2013•資陽模擬）設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=2^x-1+m，若對(duì)任意x₁∈[-5，-1]，總存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（0）=0，令x＜0，則-x＞0，代入當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+4x中，即可得x＜0的解析式，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的性質(zhì)，分x≥0和x＜0兩種情況，分別對(duì)應(yīng)它們的解析式求解不等式f（x）≥x，求解即可得到不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）根據(jù)當(dāng)-5≤x≤-1時(shí)，求得f（x）的解析式，從而得到x₁∈[-5，-1]時(shí)，f（x₁）∈[-4，5]，根據(jù)g（x）的單調(diào)性，即可得到g（x₂）∈[2+m，16+m]，將對(duì)任意x₁∈[-5，-1]，總存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），轉(zhuǎn)化為[-4，5]⊆[2+m，16+m]，根據(jù)集合的子集的運(yùn)算，列出不等式組，求解即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，
設(shè)x＜0，則有-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+4x，
∴f（-x）=-x²-4x，
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）]=x²+4x，
∴f（x）的解析式為f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x，x＜0.

，
當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≥x即為-x²+4x≥x，解得0≤x≤3，
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）≥x即為x²+4x≥x，解得x≤-3，
故不等式f（x）≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}；
（Ⅱ）∵f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x，x＜0.

，
∴當(dāng)-5≤x≤-1時(shí)，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4，
∴f（x）∈[-4，5]，
∴x₁∈[-5，-1]時(shí)，f（x₁）∈[-4，5]，
∵g（x）=2^x-1+m是R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x₂∈[2，5]時(shí)，g（x₂）∈[2+m，16+m]，
∵對(duì)任意x₁∈[-5，-1]，總存在x₂∈[2，5]使f（x₁）=g（x₂），
∴[-4，5]⊆[2+m，16+m]，
∴

2+m≤-4 16+m≥5

，解得-11≤m≤-6，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-11，-6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．對(duì)于不等式的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，函數(shù)的恒成立問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的子集關(guān)系，運(yùn)用集合的運(yùn)算進(jìn)行求解．屬于中檔題．