如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心,點(diǎn)F,G分別是棱C1D1,AA1的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E1,G1分別是點(diǎn)E,G在平面DCC1D1內(nèi)的射影.

(1)求以E為頂點(diǎn),以四邊形FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的射影為底面的棱錐的體積;

(2)求證:直線FG1⊥平面FEE1;

(3)求異面直線E1G1與EA所成的角的正弦值.

答案:
解析:

  (1)解:根據(jù)題意可知,所求體積即為四棱錐E-FG1DE1的體積.因?yàn)辄c(diǎn)E1,G1分別為棱CC1,DD1的中點(diǎn),所以=22×2×1-2××1×1=2.又因?yàn)辄c(diǎn)E到平面DCC1D1的距離為EE1=1,故×2×1=

  (2)證明:在正方形DCC1D1中,F(xiàn)G1=FE1,G1E1=2,F(xiàn)G12+FE12=G1E12,故FG1⊥FE1.又EE1⊥平面DCC1D1,F(xiàn)G1平面DCC1D1,所以EE1⊥FG1因?yàn)镕E1∩EE1=E1,所以FG1⊥平面FEE1

  (3)解:因?yàn)镋1G1∥CD,AB∥CD,所以E1G1∥AB,所以∠EAB即為異面直線E1G1與EA所成的角.因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1,BE平面BCC1B1,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,AB=2,BE=,AE=,所以sin∠EAB=.所以異面直線E1G1與EA所成角的正弦值為


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