Question

【題目】函數是實數集R上的奇函數,當時, .

(1)求的值和函數的表達式;

(2)求證:方程在區(qū)間上有唯一解.

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)根據函數的奇偶性,利用即可解答;根據奇函數的性質求出的解析式,特別注意當時, ;

(2)因為log22＝,所以方程在區(qū)間上有根.然后根據函數的單調性證明解的唯一性即可.

試題解析：

(1)函數f(x)是實數集R上的奇函數.

所以f(-1)＝-f(1).

因為當x＞0時,f(x)＝log2x＋x-3,所以f(1)＝log21＋1-3＝-2.

所以f(-1)＝-f(1)＝2.

當x＝0時,f(0)＝f(-0)＝-f(0),解得f(0)＝0,

當x＜0時,-x＞0,所以f(-x)＝log2(-x)＋(-x)-3＝log2(-x)-x-3.

所以-f(x)＝log2(-x)-x-3,從而f(x)＝-log2(-x)＋x＋3.

所以f(x)＝

(2)因為f(2)＝log22＋2-3＝0,所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0,＋∞)上有解x＝2.

易知在區(qū)間(0,＋∞)上為增函數，

由零點存在性定理可知,方程f(x)＝0在區(qū)間(0,＋∞)上有唯一解.