【題目】已知函數(shù)fx),gx)滿足關系gx)=fxfx),其中α是常數(shù).

(1)設fx)=cosx+sinx,,求gx)的解析式;

(2)設計一個函數(shù)fx)及一個α的值,使得;

(3)當fx)=|sinx|+cosx,時,存在x1x2R,對任意xR,gx1)≤gx)≤gx2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.

【答案】(1) (2)fx)=2cosx,α=- (3)

【解析】

(1)求出f(x+α),代入g(x)=f(x)f(x+α)化簡得出.

(2)g(x)化簡得=4cosxcos(x-,故f(x)=2cosx,α=-

(3)求出g(x)的解析式,由題意得gx1為最小值,gx2為最大值,求出x1x2,從而得到|x1-x2|的最小值.

1)∵fx)=cosx+sinx,fx+α)=cos(x+)+sin(x+)=cosx-sinx

gx)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x-sin2x=cos2x

(2)∵=4cosxcos(x-),

fx)=2cosx,α=-

(3)∵fx)=|sinx|+cosx,∴gx)=fxfx+α)=(|sinx|+cosx)(|cosx|-sinx

=,

因為存在x1x2R,對任意xRgx1)≤gx)≤gx2)恒成立,

所以當x1=2kπ+π時,gx)≥gx1)=-1

時,gx)≤gx2)=2

所以

所以|x1-x2|的最小值是

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性質(zhì)

理由

結(jié)論

得分

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值域

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單調(diào)性

對稱性

作圖

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