Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C：（y﹣1）2﹣x2＝1交于A，B兩點(diǎn)．

（1）求|AB|的長；

（2）在以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

Answer 1

【答案】（1）2．（2）1

【解析】

（1）將直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的方程得．設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB|的長；

（2）將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，可得中點(diǎn)M對應(yīng)參數(shù)，由參數(shù)μ的幾何意義，可得點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離|PM|.

解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），

∴直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為（μ為參數(shù)），

代入曲線C的方程得μ2+2μ﹣4＝0．

設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為μ1，μ2，

則μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4，

∴|AB|＝|μ1﹣μ2|＝2．

（2）∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，

∴由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（﹣1，1），

∴點(diǎn)P在直線l上，中點(diǎn)M對應(yīng)參數(shù)為1，

由參數(shù)μ的幾何意義，點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離|PM|＝1．