Question

【題目】數(shù)列{an}滿足
（1）計(jì)算a1 ， a2 ， a3 ， a4
（2）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1．

當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2= ．

當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3= ．

當(dāng)n=4時(shí)，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4= ，

由此猜想an= （n∈N*）

（2）解：證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，結(jié)論成立．

②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

那么n=k+1（k≥1且k∈N*）時(shí)，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1．

∴2ak+1=2+ak=2+ = ．

∴ak+1= ，

由①②可知，對(duì)n∈N*，an= 都成立

【解析】（1）根據(jù)Sn=2n﹣an ， 利用遞推公式，求出a2 ， a3 ， a4 ． （2）總結(jié)出規(guī)律求出an ， 然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的定義和表示和歸納推理是解答本題的根本，需要知道數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an；根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理．