【題目】已知曲線C上每一點到直線l：的距離比它到點的距離大1.

（1）求曲線C的方程；

（2）曲線C任意一點處的切線m（不含x軸）與直線相交于點M，與直線l相交于點N，證明：為定值，并求此定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析，為定值0.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可得曲線是頂點在原點，軸為對稱軸，為焦點的拋物線，從而求出曲線的方程；

（2）依題意，切線的斜率存在且不等于0，設(shè)切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，利用△得到，故切線的方程可寫為，進(jìn)而求出點，的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表達(dá)出和，即可證得為定值．

解：（1）由題意可知，曲線C上每一點到直線的距離等于該點到點的距離，

曲線C是頂點在原點，y軸為對稱軸，為焦點的拋物線.

曲線C的軌跡方程為：.

（2）依題設(shè)，切線m的斜率存在且不等于零，設(shè)切線m的方程為

（），

代入得，即.

由得，化簡整理得.

故切線m的方程可寫為.

分別令，得M，N的坐標(biāo)為，，

，.

.

即為定值0.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點，當(dāng)直線過點時，以為直徑的圓與直線相切．

（1）求拋物線的方程；

（2）與平行的直線交拋物線于，兩點，若平行線，之間的距離為，且的面積是面積的倍（O為坐標(biāo)原點），求和的方程．

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【題目】(1)利用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.

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x

y

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【題目】已知函數(shù).

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（Ⅱ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

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