Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）為指數(shù)型和.

【解析】

（I）通過計(jì)算證明證得，來證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（II）利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通項(xiàng)公式，對(duì)分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，根據(jù)“指數(shù)型和”的定義，求出符合題意的“指數(shù)型和”.

（I），.由于，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.，.

（II）由（I）得，，所以.因?yàn)?/span>，.當(dāng)時(shí)，

，，而，所以，即，化簡(jiǎn)得，由于當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為，所以

，又，所以的最小值為.

（III）由（I）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也符合上式，所以對(duì)正整數(shù)都有.由，（且），只能是不小于的奇數(shù).

①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由于和都是大于的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，，所以，且，相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”；

② 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由于是個(gè)奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時(shí)沒“指數(shù)型和”.

綜上所述，中的項(xiàng)存在“指數(shù)型和”，為.