【題目】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

【答案】（1）分布列見解析，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；（2）證明見解析；

（3），.

【解析】

（1）根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量在相應(yīng)取值時(shí)的概率，可列出隨機(jī)變量的分布列，由此計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在該等式兩邊同時(shí)減去，可得出所證等式成立；

（3）結(jié)合（1）、（2）可得，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出和的值.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、.

，，

，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，其概率為 ，也可以由第站跳站得到，其概率為，所以，.

等式兩邊同時(shí)減去得；

（3）由（2）可得，，.

由（2）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，

，

又，則，

由于若跳到第站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB中點(diǎn)，PC＝3PE.

（1）求證：平面ADE⊥平面PBC；

（2）在AC上是否存在一點(diǎn)M，使得MB∥平面ADE？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計(jì)

南方學(xué)生

60

20

80

北方學(xué)生

10

10

20

合計(jì)

70

30

100

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；

已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，設(shè)，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛護(hù)地球、節(jié)約用水是我們每個(gè)人的義務(wù)與責(zé)任.某市政府為了對(duì)自來水的使用進(jìn)行科學(xué)管理，節(jié)約水資源，計(jì)劃確定一個(gè)家庭年用水量的標(biāo)準(zhǔn).為此，對(duì)全市家庭日常用水量的情況進(jìn)行抽樣抽查，獲得了個(gè)家庭某年的用水量（單位：立方米），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表及圖所示.

分組

頻數(shù)

頻率

25

0.19

50

0.23

0.18

5

（1）分別求出，的值；

（2）若以各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值，試估計(jì)全市家庭年均用水量；

（3）從樣本中年用水量在（單位：立方米）的5個(gè)家庭中任選3個(gè)，作進(jìn)一步的跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（5個(gè)家庭的年用水量都不相等）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）曲線的普通方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線:依次與曲線和曲線交于、兩點(diǎn)，射線:依次與曲線和曲線交于、兩點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，,點(diǎn)在線段上，且,.

（1）試用空間向量證明直線與平面不平行；

（2）設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)平面平面，求直線與平面的所成角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，求：

（1）直線與直線所成角的余弦值；

（2）平面與平面所成二面角的正弦值．

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