Question

【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表：

質(zhì)量指標(biāo)值m	25≤m＜35	15≤m＜25或35≤m＜45	0＜m＜15或45≤m≤65
等級(jí)	一等品	二等品	三等品

某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）：

（1）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品82%”的規(guī)定？

（2）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測(cè)，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X～N（31，122），則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升或降低多少？

（3）若企業(yè)每件一等品售價(jià)180元，每件二等品售價(jià)150元，每件三等品售價(jià)120元，以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率，現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1）不能認(rèn)為這種產(chǎn)品符合規(guī)定；（2）降低了1.8；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，可求得樣本中一等品和二等品共有件，進(jìn)而可得到結(jié)論；

（2）由頻率分布直方圖，利用公式求得活動(dòng)前樣本的均值為，即可作出比較，得到結(jié)論；

（3）由樣品估計(jì)總體，可得一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，得到隨機(jī)變量X的所有可能取值，利用概率的乘法公式，求得取每個(gè)值的概率，得到分布列，利用公式即可求得數(shù)學(xué)期望．

（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100=80（件）

在樣本中所占比例為80%，因此不能認(rèn)為這種產(chǎn)品符合規(guī)定.

（2）由頻率分布直方圖知，活動(dòng)前樣本的均值為0.02×10+0.18×20+0.50×30+0.12×40+0.16×50+0.02×60=32.8，

又由活動(dòng)后的均值為31，所以均值降低了1.8；

（3）由樣品估計(jì)總體知，企業(yè)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品為一等品的概率為，二等品的概率為，

三等品的概率為，隨機(jī)變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360．

，

，

．

所以X的分布列為：

X	240	270	300	330	360
P（X）

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．