【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線,的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))
(1)將放在容器Ⅰ中,的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱上,求沒入水中部分的長度;
(2)將放在容器Ⅱ中,的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱上,求沒入水中部分的長度.
【答案】(1)16;(2)20.
【思路分析】(1)轉(zhuǎn)化為直角三角形ACM中,利用相似性質(zhì)求解AP1;(2)轉(zhuǎn)化到三角形EGN中,先利用直角梯形性質(zhì)求角,再利用正弦定理求角,最后根據(jù)直角三角形求高,即為沒入水中部分的長度.
【解析】(1)由正棱柱的定義,平面,所以平面平面,.
記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處.
因?yàn)?/span>,所以,從而,
如圖,與水面的交點(diǎn)為,過作P1Q1⊥AC,Q1為垂足,
則P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=.
答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.
(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24cm)
(2)如圖,O,O1是正棱臺的兩底面中心.
由正棱臺的定義,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處.
過G作GK⊥E1G1,K為垂足,則GK =OO1=32.
因?yàn)镋G = 14,E1G1= 62,
所以KG1=,從而.
設(shè)則.
因?yàn)?/span>,所以.
在中,由正弦定理可得,解得.
因?yàn)?/span>,所以.
于是.
記EN與水面的交點(diǎn)為P2,過P2作P2Q2⊥EG,Q2為垂足,則P2Q2⊥平面EFGH,
故P2Q2=12,從而EP2=.
答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.
(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20cm)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合 計(jì) | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合 計(jì) | 70 | 30 | 100 |
⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差
異”;
⑵已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)
抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù),實(shí)數(shù)),曲線
(為參數(shù),實(shí)數(shù)). 在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn). 當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
(1)求的值; (2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極小值;
(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn), , ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.
現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),截至2016年底全國微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量,現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查,結(jié)果如下:
(1)求,,的值及樣本中微信群個數(shù)超過12的概率;
(2)若從這100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過12的概率;
(3)以(1)中的頻率作為概率,若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記表示抽到的是微信群個數(shù)超過12的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017唐山模擬】如圖,ABCDA1B1C1D1為正方體,連接BD,AC1,B1D1, CD1,B1C,現(xiàn)有以下幾個結(jié)論:①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1與底面ABCD所成角的正切值是;④CB1與BD為異面直線,其中所有正確結(jié)論的序號為________.
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