Question

【題目】已知，是橢圓T.上的兩點(diǎn)，且A點(diǎn)位于第一象限.過(guò)A做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)D滿足，延長(zhǎng)交T于點(diǎn).

（1）設(shè)直線，的斜率分別為，.

（i）求證：；

（ii）證明：是直角三角形；

（2）求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（i）見(jiàn)解析（ii）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）（i）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用、表示出、即可得證；（ii）利用，都在T上可將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減并通過(guò)變形證明，由（i）可推出，則，得證；（2）直線AE的方程代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出，由求出面積的表達(dá)式，利用換元法及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.

（1）（i）由題意可得，所以，

又，因此.

（ii）因?yàn)?/span>，都在T上，

所以，，從而，

即.

又，，所以，

由（i），則，即.

故是直角三角形.

（2）由（1）得，：，

將直線代入橢圓T，并整理可得，

所以.

，

因?yàn)?/span>，所以.

令，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.

從而，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，

故時(shí)，取得最大值.