【題目】設函數(shù).

1)若.

①求實數(shù)的值;

②若,證明極值點;

2)求實數(shù)的取值范圍,使得對任意的恒有成立.(注:為自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】1)①.②見解析(2

【解析】

1)①求出導函數(shù),根據(jù)即可得解,②,所以,根據(jù)導函數(shù)的零點,結合函數(shù)單調(diào)性即可得極值點;

2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分類討論求解參數(shù)的取值范圍.

解:(1)求導得

因為的極值點,所以,

解得.

2)因為,所以.

所以,(),

,則,

所以上單調(diào)遞增,

,

上單調(diào)遞增,

所以存在唯一使,

所以時,,

時,單調(diào)遞增;

時,,

所以時,,

所以的極小值點.

2,對于任意的實數(shù),恒有成立.

②當時,由題意,首先有,

解得,

由(1)知

,則

.

內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)內(nèi)有唯一的零點,記此零點為,則.

從而,當時,

時,

時,.

內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.

所以要使恒成立,只要

①②成立.

將③代入①得,

注意到函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,故.

再由③以及函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,可得.

由②解得

所以,

綜上,的取值范圍為.

2)解法2

①當,對于任意的實數(shù),恒有成立.

②當時,,令,

以下分四種情況:

(一),,所以上遞增,故

,所以,無解

(二),上遞增,故

所以,所以上遞增,故

由(一)可知,無解

(三),

,

上遞增,所以存在唯一的,使得

上的正負性如下

+

0

-

0

+

極大

極小

,得*),

代入(*)式,得

函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,故.

再由函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,可得.

(四),存在 ,不符合條件.

綜上,的取值范圍為.

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