Question

【題目】如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,,四邊形和四邊形為矩形.

(1)證明:底面;

(2)若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 詳見解析 (2)

【解析】

試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進(jìn)而得到均為中點,得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相結(jié)合即可得到與垂直,進(jìn)而證明線面垂直.

(2)要求二面角,此問可以以以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,利用空間向量的方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點,連接.利用(1)得到,在利用四邊形為菱形,對角線相互垂直,兩個垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進(jìn)而得到,結(jié)合得到線面垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長即可得到角的余弦值,進(jìn)而得到二面角的余弦值.

(1)證明:四棱柱的所有棱長都相等

四邊形和四邊形均為菱形

分別為中點

四邊形和四邊形為矩形

且

又且底面

底面.

(2)法1::過作的垂線交于點,連接.不妨設(shè)四棱柱的邊長為.

底面且底面面

面

又面

四邊形為菱形

又且,面

面

又面

又且,面

面

為二面角的平面角,則

且四邊形為菱形

,,

則

再由的勾股定理可得,

則,所以二面角的余弦值為.

法2:因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形是菱形,因此,又面,從而兩兩垂直,如圖以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),因為,所以,,于是各點的坐標(biāo)為:,已知是平面的一個法向量,設(shè)是平面的一個法向量,則,,取,則,

所以,,故二面角的余弦值為.